Category Archives: ગણિત ગમ્મત

લુપ કેલ્કયુલેશન્સ (પુનરાવર્તીત ગણતરીઓ)


આજે ગણિતની બે એવી ગણતરીઓ જોઈએ જે ગમે ત્યાંથી શરૂ કરો, અંતે એક જ રીતે પુનરાવર્તન પામ્યા કરે છે. ન સમજાયું? વાંચો આગળ…

4…2…1 લુપ

  • કોઈપણ એક પૂર્ણાંક સંખ્યા લો અને કાગળ પર લખી લો.
  • જો એ બેકી સંખ્યા હોય તો એને 2 વડે ભાગી નાખો અને જો એ એકી સંખ્યા હોય તો એને 3 વડે ગુણી તેમાં 1 ઉમેરી દો.
  • જે નવો અંક મળે તેના પર એ જ પ્રક્રિયા (ભાગાકાર અથવા ગુણાકાર અને સરવાળો) ફરી વાર કરો અને એમ જ ચાલુ રાખો. પરિણામ શું આવે છે?

ઉદાહરણ વડે જોઈએ:

  • ધારો કે આપણએ 13 થી શરૂઆત કરી.
  • એ એકી સંખ્યા છે એટલે એને ત્રણ વડે ગુણીને એક ઉમેરીએ. 13 x 3 = 39 + 1 = 40
  • 40 એ બેકી સંખ્યા છે એટલે એને 2 વડે ભાગો. 40 / 2 = 20.
  • 20 / 2 = 10 (બેકી સંખ્યા)
  • 10 / 2 = 5
  • 5 x 3 = 15 + 1 = 16
  • 16 / 2 = 8
  • 8 / 2 = 4
  • 4 / 2 = 2
  • 2 / 1 = 1
  • 1 x 3 = 3 + 1 = 4
  • 4 / 2 = 2
  • 2 / 2 = 1

આમ, ગમે તે અંક થી શરૂઆત કરી હોય, અંતે ગણતરી એવા તબક્કે પહોંચી જાય છે જ્યાં હવે માત્ર ત્રણ જ પરિણામો એના એ જ ક્રમમાં આવ્યા કરશે. 4..2..1..4..2..1..4..2..1.. 🙂

6174 લુપ

  1. કોઈપણ એક ચાર અંકોની સંખ્યા લો અને કાગળ પર લખી લો. (1111ના ગુણાંકો જેમ કે 1111,2222,3333 વગેરે નથી લેવાના.)
  2. એ સંખ્યાના અંકોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો અને જે સંખ્યા મળે તે લખી લો.
  3. ફરીવાર તમે જે સંખ્યા લીધી હતી તેના અંકોને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવો અને બનેલી સંખ્યા નોંધી લો.
  4. હવે નવી બનેલી બન્ને સંખ્યામાંની મોટીમાંથી નાની સંખ્યા બાદ કરી લો.
  5. જે પરિણામ આવે તેના પર ઉપર લખેલા સ્ટેપ 2, 3 અને 4 ની ક્રિયાઓ ફરીવાર કરો અને દરેક પરિણામ ઉપર એની એ ક્રિયા કરતા રહો. શું પરિણામ આવ્યું?

ઉદાહરણ:

  • સંખ્યા 7173
  • અંકોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા મળતી સંખ્યા : 1377
  • અંકોને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા મળતી સંખ્યા : 7731
  • 7731 – 1377 = 6354
  • ફરી, એ જ સ્ટેપ્સ.. 3456 અને 6543
  • 6543 – 3456 = 3087
  • 8730 – 0378 = 8352
  • 8532 – 2358 = 6174
  • 7641 – 1467 = 6174
  • 7641 – 1467 = 6174
  • … એનું એ પરિણામ.

આ ગણતરીઓ મને તો પરફેક્ટ લાગી છે. તમે કરી જોજો અને કેવું લાગ્યું એ જણાવજો. 🙂

(નોંધ – ઉપરની પોસ્ટમાં એકબે ટાઈપભૂલ રહી ગઈ હતી જે સુધારી લીધી છે.)

જાદુઈ સંખ્યા – ૧૦૮૯


ગણિતમાં ૧૦૮૯ ની સંખ્યા જાદુઈ કહેવાય છે. ચાલો એનો જાદુ જોઈએ..
ખરેખર તો બીજી દરેક સંખ્યાની જેમ એ એક સામાન્ય સંખ્યા જ છે, પરંતુ તેની સાથે આશ્ચર્યકારક એવી ગણતરી થઇ શકે છે. આ કરી જુઓ:

  • જેમાં શૂન્ય ન આવતું હોય તેવી ૩ આકડાની સંખ્યા લો. આ સંખ્યાના પહેલા અને છેલ્લા અંક વચ્ચે ઓછામાં ઓછો ૨(બે) નો તફાવત હોવો જોઈએ. ( ધારો કે, abc)
  • હવે આ સંખ્યાને ઉલટાવી નાખો. (cba)
  • હવે બન્નેમાં મોટી સંખ્યામાં થી નાની સંખ્યા બાદ કરી નાખો. (abc-cba=xyz)
  • આ જવાબને ફરીવાર ઉલટાવી નાખો. (zyx)
  • આ ઉલ્ટાવેલા જવાબને મૂળ જવાબમાં ઉમેરી દો. (xyz + zyx)
  • જવાબ ૧૦૮૯ આવ્યો?

ઉપર કહી શરતોનું પાલન કરતી કોઈપણ ત્રણ આંકડાની સંખ્યાને આ મુજબ ગણતા જવાબ ૧૦૮૯ જ આવશે.

આમ કેમ બને છે? જવાબ મજેદાર  છે. ચાલો તપાસીએ:

ધારોકે આપણે લીધેલી સંખ્યા abc છે. અહી  c એકમના સ્થાનમાં હોઈ તેની કિંમત c x 1 = c થશે. એ જ રીતે દશકના સ્થાનના b ની કિંમત b x 10 = 10b અને સો ના સ્થાને રહેલા a ની કિંમત a x 100 = 100a થાય. આમ, સંખ્યા abc = 100a + 10b + c થશે.
આ સંખ્યાને ઉલટાવીએ ત્યારે તે cba બને છે, જેને ઉપર મુજબ 100c + 10b + a તરીકે લખી શકાય.

હવે,
abc – cba = 100a +10b + c – (100c + 10b + a)
= 100a + 10b + c- 100c – 10b – a

= 99a – 99c જેને 99(a-c) તરીકે લખી શકાય.

હવે, a અને c માં 2 અથવા 2થી વધુ તફાવત છે (અને તે બન્નેમાં એકપણ શૂન્ય નથી) તેથી (a-c) ની શક્ય કિંમતો 2,3,4,5,6,7 કે 8 થાય.
અર્થાત્, 99(a-c) ની શક્ય કિંમતો 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 થશે.

હવે ધારોકે, abc – cba = xyz છે.
તો તે પરિણામને ઉલટાવીને નવી સંખ્યા મુળ પરિણામમાં ઉમેરીએ ત્યારે,
xyz + zyx = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x
જેને  xyz + zyx = 100(x+z) + 20y +x +z તરીકે લખી શકાય.

પણ abc – cbaની એટલે કે xyz ની શક્ય કિંમતો જોઈએ તો દેખાય છે કે તેમાં y (વચલો અંક) હંમેશા 9 છે. ઉપરાંત, દરેક વખતે પહેલા અને છેલ્લા અંકનો સરવાળો (x+z) પણ 9 છે. આ કિંમતો ઉપરના સમીકરણમાં મૂકીએ એટલે..
xyz – zyx = 100(9) + 20(9) + 9
= 900 + 180 + 9
= 1089. (હંમેશા !!)

તમારા મોબાઈલ નંબરને તમારી જન્મતારીખ સાથે સંબંધ છે..


તમારા મોબાઈલ નંબરને તમારી જન્મતારીખ સાથે સંબંધ છે..

નથી માનવામાં આવતું? આ કરી જુઓ..

  • તમારા મોબાઈલ નંબરના આખરી ચાર આંકડા કાગળ ઉપર લખો.

  • એ આંકડાઓને આગળપાછળ (shuffle ) કરી કોઈપણ નવો આંકડો બનાવો.

  • હવે આ બન્નેમાં, મોટી સંખ્યામાંથી નાની સંખ્યા બાદ કરી નાખો.

  • જે જવાબ આવ્યો એના બધા અંકો નો સરવાળો કરી લો. જો આ સરવાળો એક કરતા વધુ અંકોમાં આવે તો ફરીવાર તેના પણ બધા અંકો નો સરવાળો કરી લો. (એ રીતે છેલ્લે એક અંક બચે ત્યાં સુધી સરવાળો કરવાનો છે.)

  • આ સરવાળાનાં અંકમાં ૧૬ ઉમેરો અને જે જવાબ આવે તેમાં તમારી જન્મતારીખનાં છેલ્લા બે અંક ઉમેરો.

  • હવે જે જવાબ આવ્યો એમાંથી ૨૫ બાદ કરો.

  • જે મળ્યું એ તમારી જન્મતારીખનું વર્ષ છે?

આ કેમ બન્યું? એ કહીને હું તમારી બુદ્ધિનું અપમાન નહિ કરું..