જાદુઈ સંખ્યા – ૧૦૮૯

ગણિતમાં ૧૦૮૯ ની સંખ્યા જાદુઈ કહેવાય છે. ચાલો એનો જાદુ જોઈએ..
ખરેખર તો બીજી દરેક સંખ્યાની જેમ એ એક સામાન્ય સંખ્યા જ છે, પરંતુ તેની સાથે આશ્ચર્યકારક એવી ગણતરી થઇ શકે છે. આ કરી જુઓ:

• જેમાં શૂન્ય ન આવતું હોય તેવી ૩ આકડાની સંખ્યા લો. આ સંખ્યાના પહેલા અને છેલ્લા અંક વચ્ચે ઓછામાં ઓછો ૨(બે) નો તફાવત હોવો જોઈએ. ( ધારો કે, abc)
• હવે આ સંખ્યાને ઉલટાવી નાખો. (cba)
• હવે બન્નેમાં મોટી સંખ્યામાં થી નાની સંખ્યા બાદ કરી નાખો. (abc-cba=xyz)
• આ જવાબને ફરીવાર ઉલટાવી નાખો. (zyx)
• આ ઉલ્ટાવેલા જવાબને મૂળ જવાબમાં ઉમેરી દો. (xyz + zyx)
• જવાબ ૧૦૮૯ આવ્યો?

ઉપર કહી શરતોનું પાલન કરતી કોઈપણ ત્રણ આંકડાની સંખ્યાને આ મુજબ ગણતા જવાબ ૧૦૮૯ જ આવશે.

આમ કેમ બને છે? જવાબ મજેદાર  છે. ચાલો તપાસીએ:

ધારોકે આપણે લીધેલી સંખ્યા abc છે. અહી  c એકમના સ્થાનમાં હોઈ તેની કિંમત c x 1 = c થશે. એ જ રીતે દશકના સ્થાનના b ની કિંમત b x 10 = 10b અને સો ના સ્થાને રહેલા a ની કિંમત a x 100 = 100a થાય. આમ, સંખ્યા abc = 100a + 10b + c થશે.
આ સંખ્યાને ઉલટાવીએ ત્યારે તે cba બને છે, જેને ઉપર મુજબ 100c + 10b + a તરીકે લખી શકાય.

હવે,
abc – cba = 100a +10b + c – (100c + 10b + a)
= 100a + 10b + c- 100c – 10b – a
= 99a – 99c જેને 99(a-c) તરીકે લખી શકાય.

હવે, a અને c માં 2 અથવા 2થી વધુ તફાવત છે (અને તે બન્નેમાં એકપણ શૂન્ય નથી) તેથી (a-c) ની શક્ય કિંમતો 2,3,4,5,6,7 કે 8 થાય.
અર્થાત્, 99(a-c) ની શક્ય કિંમતો 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 થશે.

હવે ધારોકે, abc – cba = xyz છે.
તો તે પરિણામને ઉલટાવીને નવી સંખ્યા મુળ પરિણામમાં ઉમેરીએ ત્યારે,
xyz + zyx = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x
જેને  xyz + zyx = 100(x+z) + 20y +x +z તરીકે લખી શકાય.

પણ abc – cbaની એટલે કે xyz ની શક્ય કિંમતો જોઈએ તો દેખાય છે કે તેમાં y (વચલો અંક) હંમેશા 9 છે. ઉપરાંત, દરેક વખતે પહેલા અને છેલ્લા અંકનો સરવાળો (x+z) પણ 9 છે. આ કિંમતો ઉપરના સમીકરણમાં મૂકીએ એટલે..
xyz – zyx = 100(9) + 20(9) + 9
= 900 + 180 + 9
= 1089. (હંમેશા !!)